ФУРЬЕ РЯД
Фурье ряд - тригонометрический ряд, служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x) имеет период 2T, то ее Фурье ряд имеет вид
,
где a0, an, bn (n ³ 1) - Фурье коэффициенты. В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье - Римана, Фурье - Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2p-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).
Фурье ряды представляют собой простейший класс разложений по ортогональной системе функций, а именно - по тригонометрической системе 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Фурье ряда (суммы Фурье)
обращают в минимум интеграл
,
где tn (x) - произвольный тригонометрический полином порядка £ n, а функция f (x) интегрируема с квадратом. При этом
,
так что функции f (x), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование функций).
Для любой интегрируемой функции f (x) коэффициенты Фурье an, bn при n R ¥ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция f (x) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции f (x) интегрируем, то ряд
сходится и имеет место равенство Парсеваля
.
Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел an, bn со сходящимся рядом
существует
функция с интегрируемым по Лебегу квадратом, имеющая эти числа своими
коэффициентами Фурье (немецкий математик Э. Фишер, венгерский математик
Ф. Рис). Для интегралов в смысле Римана эта теорема неверна.
Известно большое число признаков сходимости Фурье ряда, т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f (x) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то ее Фурье ряд сходится в каждой точке (П. Дирихле). Более общо, если f (x) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции), то ее Фурье ряд сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f (x) непрерывна (К. Жордан). Если f (x) непрерывна и ее модуль непрерывности w(d, f) удовлетворяет условию
, то ее Фурье ряд равномерно сходится (итальянский математик У. Дини, 1880).
Проблема полного исследования условий сходимости Фурье ряда оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Фурье ряда в некоторой точке x0 зависит от поведения функции f (x) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Фурье ряда). Если в точке x0 функция f (x) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f (x0 - 0) и f (x0 + 0), и Фурье ряд этой функции сходится в точке x0, то он сходится к значению 1/2{f (x0 - 0) + f (x0 + 0)}. В частности, если Фурье ряд непрерывной периодической функции f (x) сходится в каждой точке, то его сумма равна f (x).
Известно, что существуют непрерывные функции, Фурье ряд которых расходятся в бесконечном числе точек (немецкий математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Фурье ряд которых расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров, 1926). Однако Фурье ряд всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат верен и для функций из любого пространства Lp (-p, p) с p < 1 (Р. Хант, 1968). Упомянутые "дефекты сходимости" породили методы суммирования Фурье ряда Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение которых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Например, для любой непрерывной периодической функции f (x) сумма Фейера
при n R ¥ равномерно сходятся к f (x) (Л. Фейер, 1904).
Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965.
где a0, an, bn (n ³ 1) - Фурье коэффициенты. В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье - Римана, Фурье - Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2p-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).
Фурье ряды представляют собой простейший класс разложений по ортогональной системе функций, а именно - по тригонометрической системе 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Фурье ряда (суммы Фурье)
обращают в минимум интеграл
где tn (x) - произвольный тригонометрический полином порядка £ n, а функция f (x) интегрируема с квадратом. При этом
так что функции f (x), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование функций).
Для любой интегрируемой функции f (x) коэффициенты Фурье an, bn при n R ¥ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция f (x) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции f (x) интегрируем, то ряд
Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел an, bn со сходящимся рядом
Известно большое число признаков сходимости Фурье ряда, т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f (x) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то ее Фурье ряд сходится в каждой точке (П. Дирихле). Более общо, если f (x) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции), то ее Фурье ряд сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f (x) непрерывна (К. Жордан). Если f (x) непрерывна и ее модуль непрерывности w(d, f) удовлетворяет условию
Проблема полного исследования условий сходимости Фурье ряда оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Фурье ряда в некоторой точке x0 зависит от поведения функции f (x) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Фурье ряда). Если в точке x0 функция f (x) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f (x0 - 0) и f (x0 + 0), и Фурье ряд этой функции сходится в точке x0, то он сходится к значению 1/2{f (x0 - 0) + f (x0 + 0)}. В частности, если Фурье ряд непрерывной периодической функции f (x) сходится в каждой точке, то его сумма равна f (x).
Известно, что существуют непрерывные функции, Фурье ряд которых расходятся в бесконечном числе точек (немецкий математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Фурье ряд которых расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров, 1926). Однако Фурье ряд всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат верен и для функций из любого пространства Lp (-p, p) с p < 1 (Р. Хант, 1968). Упомянутые "дефекты сходимости" породили методы суммирования Фурье ряда Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение которых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Например, для любой непрерывной периодической функции f (x) сумма Фейера
при n R ¥ равномерно сходятся к f (x) (Л. Фейер, 1904).
Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965.
Тегов нет: